Question

20．如图，多面体ABC-B₁C₁D是由三棱柱ABC-A₁B₁C₁截去一部分后而成，D是AA₁的中点．
（1）若AD=AC=1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到面B₁C₁D的距离；
（2）若E为AB的中点，F在CC₁上，且$\frac{{C{C_1}}}{CF}=λ$，问λ为何值时，直线EF∥平面B₁C₁D？

Answer 1

分析 （1）由BC⊥CD，CD⊥C₁D，可得CD⊥面B₁C₁D，即点C到面B₁C₁D的距离等于CD
（2）当λ=4时，直线EF∥平面B₁C₁D，理由如下：取DB₁的中点H，连接EH，可得AD∥EH∥CC₁，当C₁F=EH=$\frac{3}{2}$时，四边形C₁FEH为平行四边形，即EF∥HC₁．

解答 解：（1）∵多面体ABC-B₁C₁D是由三棱柱ABC-A₁B₁C₁截去一部分后而成，D是AA₁的中点．AD⊥平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥面DACC₁，则BC⊥CD，
∵BC∥B₁C₁，∴CD⊥B₁C₁，
又∵AD=AC=1，D是AA₁的中点，∴$CD=\sqrt{2}$，DC₁=$\sqrt{2}$，
可得$C{D}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}=C{{C}_{1}}^{2}$，即CD⊥C₁D，
∴CD⊥面DC₁B₁，∴点C到面B₁C₁D的距离等于CD=$\sqrt{2}$，
（2）当λ=4时，直线EF∥平面B₁C₁D，
理由如下：设AD=1，则BB₁=2，取DB₁的中点H，连接EH，可得AD∥EH∥CC₁，
∵EH是梯形DABB₁的中位线，∴$EH=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
当C₁F=EH=$\frac{3}{2}$时，四边形C₁FEH为平行四边形，即EF∥HC₁，
∵HC₁?面B₁C₁D，∴直线EF∥平面B₁C₁D．
此时且$\frac{{C{C_1}}}{CF}=λ$=4，

点评 本题考查了空间线面平行的判定，点面距离的求解，考查了转化思想，属于中档题．