Question

5．下面是关于公差d＞0的等差数列{a_n}的四个命题：p₁：数列{a_n}是递增数列；p₂：数列{a_n}的前n项和S_n是递增数列；p₃：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是递增数列；p₄：数列{a_n+nd}是递增数列．其中的真命题为（　　）

• A． p₁，p₂
• B． p₃，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₁，p₄

Answer 1

分析 p_1，由a_n+1＞a_n，得数列{a_n}是递增数列．
p₂，s_n=$\frac{d}{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\frac{d}{2}）n$，根据二次函数的单调性可知，在n∈N⁺不一定单调递增．
p₃.$\frac{{a}_{n}}{n}=d+\frac{{a}_{1}-d}{n}$，当a₁-d＞0时，数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是递减数列．
p_4，由[a_n+1+（n+1）d]-[a_n+nd]=2d，得数列{a_n+nd}是递增数列．

解答 解：对于p₁，∵d＞0，∴d=a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n，∴数列{a_n}是递增数列，p₁是真命题．
对于p₂，s_n=$\frac{d}{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\frac{d}{2}）n$，根据二次函数的单调性可知，在n∈N⁺不一定单调递增，故p₂是假命题．
对于p₃.$\frac{{a}_{n}}{n}=d+\frac{{a}_{1}-d}{n}$，当a₁-d＞0时，数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是递减数列，故p₃是假命题．
对于p₄，∵[a_n+1+（n+1）d]-[a_n+nd]=2d，∴数列{a_n+nd}是递增数列．故p₄是真命题．
故选：D．

点评 本题考查数列的单调性，考查简易逻辑的全称性和存在性命题的真假，考查推理和判断能力，属于中档题和易错题．