Question

17．（Ⅰ）求证：$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$；
（Ⅱ）在数学上，常用符号来表示算式，如记$\sum_{i=0}^n{a_i}={a_0}+{a_1}+{a_2}+…+{a_n}$，其中i∈N，n∈N^*．
①若a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差数列，且a₀=0，求证：$\sum_{i=0}^n{（{a_i}•C_n^i}）={a_n}•{2^{n-1}}$；
②若$\sum_{k=1}^{2n}{{{（1+x）}^k}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{2n}}{x^{2n}}$，${b_n}=\sum_{i=0}^n{{a_{2i}}}$，记${d_n}=1+\sum_{i=1}^n{[{{（-1）}^i}}•{b_i}•C_n^i]$，且不等式t•（d_n-1）≤b_n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用组合数的计算公式，左边=$k×\frac{n!}{（n-k）！k!}$=$\frac{n•（n-1）!}{[（n-1）-（k-1）]•（k-1）!}$，即可证明．
（Ⅱ）①设等差数列的通项公式为a_n=a₀+nd，其中d为公差，则$\sum_{i=0}^n{（{a_i}•C_n^i）}={a_0}+$${a_1}•C_n^1+{a_2}•C_n^2+{a_3}•C_n^3+…+{a_n}•C_n^n$=${a_0}（C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^n）+d（C_n^1+2C_n^2+…+nC_n^n）$，利用$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$，即可证明．
②令x=1，则$\sum_{i=0}^{2n}{a_i}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{2n}}=\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-2}=2•{4^n}-2$，令x=-1，则$\sum_{i=0}^{2n}{[{{（-1）}^i}}•{a_i}]=0$，可得${b_n}=\sum_{i=0}^n{{a_{2i}}}=\frac{1}{2}（2•{4^n}-2）={4^n}-1$，根据已知条件可知${d_n}=C_n^0-（4-1）C_n^1+（{4^2}-1）C_n^2-（{4^3}-1）C_n^3+…+{（-1）^n}•（{4^n}-1）C_n^n$=$[C_n^0+C_n^1•（-4）+C_n^2•{（-4）^2}+C_n^3•{（-4）^3}+…+C_n^n•{（-4）^n}]-$$[C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+C_n^4+$$…+{（-1）^n}C_n^n]+1$=（1-4）ⁿ-（1-1）ⁿ+1=（-3）ⁿ+1，可得：${d_n}={（-3）^n}+1$，将${b_n}={4^n}-1$，${d_n}={（-3）^n}+1$代入不等式t•（d_n-1）≤b_n得t•（-3）ⁿ≤4ⁿ-1．对n分类讨论即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：左边=$k×\frac{n!}{（n-k）！k!}$=$\frac{n•（n-1）!}{[（n-1）-（k-1）]•（k-1）!}$=$n{∁}_{n-1}^{k-1}$．
（Ⅱ）①证明：设等差数列的通项公式为a_n=a₀+nd，其中d为公差，则$\sum_{i=0}^n{（{a_i}•C_n^i）}={a_0}+$${a_1}•C_n^1+{a_2}•C_n^2+{a_3}•C_n^3+…+{a_n}•C_n^n$=${a_0}（C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^n）+d（C_n^1+2C_n^2+…+nC_n^n）$，
因为$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$，所以$C_n^1+2C_n^2+…+nC_n^n=n（C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+…+C_{n-1}^{n-1}）$，因此$\sum_{i=0}^n{（{a_i}•C_n^i）}$=${a_0}（C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^n）+d（C_n^1+2C_n^2+…+nC_n^n）$=${a_0}•{2^n}+nd•{2^{n-1}}$=${a_n}•{2^{n-1}}$；
注：该问也可以用倒序相加法证明（酌情给分）；
②解：令x=1，则$\sum_{i=0}^{2n}{a_i}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{2n}}=\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-2}=2•{4^n}-2$，
令x=-1，则$\sum_{i=0}^{2n}{[{{（-1）}^i}}•{a_i}]=0$，所以${b_n}=\sum_{i=0}^n{{a_{2i}}}=\frac{1}{2}（2•{4^n}-2）={4^n}-1$，
根据已知条件可知${d_n}=C_n^0-（4-1）C_n^1+（{4^2}-1）C_n^2-（{4^3}-1）C_n^3+…+{（-1）^n}•（{4^n}-1）C_n^n$=$[C_n^0+C_n^1•（-4）+C_n^2•{（-4）^2}+C_n^3•{（-4）^3}+…+C_n^n•{（-4）^n}]-$$[C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+C_n^4+$$…+{（-1）^n}C_n^n]+1$=（1-4）ⁿ-（1-1）ⁿ+1=（-3）ⁿ+1，可得：${d_n}={（-3）^n}+1$，将${b_n}={4^n}-1$，${d_n}={（-3）^n}+1$代入不等式t•（d_n-1）≤b_n得t•（-3）ⁿ≤4ⁿ-1．
当n为偶数时，$t≤{（\frac{4}{3}）^n}-{（\frac{1}{3}）^n}$恒成立，所以$t≤{（\frac{4}{3}）^2}-{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{5}{3}$；
当n为奇数，$t≥-[{（\frac{4}{3}）^n}-{（\frac{1}{3}）^n}]$恒成立，所以$t≥-[{（\frac{4}{3}）^1}-{（\frac{1}{3}）^1}]=-1$．
综上所述，所以实数t的取值范围是$[-1，\frac{5}{3}]$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、方程思想、组合数的计算公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．