Question

已知函数f（x）=a（x-1）²+lnx．a∈R．
（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）（x＞0），
，
当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上单调递增；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；
所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．
（Ⅱ）由题意得a（x-1）²+lnx≤x-1对x∈[1，+∞）恒成立，
设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），则有g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立．
求导得，
①当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；
②当时，，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，此时不成立；
③当，，
则存在，有，所以不成立；
综上得a≤0．
分析：（Ⅰ）a=-时求出f′（x），在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；
（Ⅱ）由题意得a（x-1）²+lnx≤x-1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），则问题等价于g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，求导数g′（x），按照a的范围分类进行讨论可得g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的最大值，由最大值情况即可求得a的范围；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决，解决（Ⅱ）问的关键是正确理解题意并能合理进行转化．