Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，用[x]表示不超过x的最大整数，则[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

]的值等于

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得数列{a_n}是增数列，

1

an

＞0，

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，由此利用裂项求和法得到

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

=

1

a1

-

1

a2015

＜

1

a1

=1，从而得到[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

]=0．

解答： 解：∵a_n+1=a_n²+a_n，即a_n+1-a_n=a_n²＞0，a₁=1，
∴数列{a_n}是增数列，并且

1

an

＞0，
又∵a_n+1=a_n²+a_n，∴

1

an+1

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2013

-

1

a2014

+

1

a2014

-

1

a2015

=

1

a1

-

1

a2015

＜

1

a1

=1，
∵a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，
∴a₂=1+1=2，a₃=4+2=6，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

=

1

2

+

1

3

=

5

6

，
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2014+1

]=0．
故答案为：0．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．