Question

11．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^•，都有1，$\sqrt{{S}_{n}}$，a_n成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1+（-1）ⁿb_n=a_n（n∈N^•），求数列{b_n}的前60项和．

Answer 1

分析 通过1，$\sqrt{{S}_{n}}$，a_n成等差数列可知4S_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n+1．
（Ⅰ）当n=1时，可得首项a₁=1，当n≥2时，利用4a_n=4S_n-4S_n-1计算即得结论；
（Ⅱ）通过b_n+1+（-1）ⁿb_n=2n-1计算可得b_n+2+b_n=（-1）ⁿ（2n-1）+2n+1、b_n+3+b_n+1=-（-1）ⁿ（2n+1）+2n+3，进而有b_4k+1+b_4k+2+b_4k+3+b_4k+4=16k+10，计算即可．

解答 解：由题可知：2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，即4S_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n+1．
（Ⅰ）当n=1时，4a₁=${{a}_{1}}^{2}+2{a}_{1}+1$，解得a₁=1，
当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1=（${{a}_{n}}^{2}$+2a_n+1）-（${{a}_{n-1}}^{2}$+2a_n-1+1），
化简得：${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$=2（a_n+a_n-1），
又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}的通项：a_n=2n-1；
（Ⅱ）由b_n+1+（-1）ⁿb_n=2n-1得
b_n+2=（-1）ⁿb_n+1+2n+1
=（-1）ⁿ[（-1）^n-1b_n+2n-1]+2n+1
=-b_n+（-1）ⁿ（2n-1）+2n+1，
即b_n+2+b_n=（-1）ⁿ（2n-1）+2n+1，
也有b_n+3+b_n+1=-（-1）ⁿ（2n+1）+2n+3，
两式相加得：b_n+b_n+1+b_n+2+b_n+3=（-1）ⁿ（2n-1）+2n+1-（-1）ⁿ（2n+1）+2n+3，
设k为整数，整理得：b_4k+1+b_4k+2+b_4k+3+b_4k+4=-2（-1）^4k+1+4（4k+1）+4=16k+10，
于是S₆₀=$\sum_{k=0}^{14}（16k+10）$=1830．

点评 本题考查求数列的通项、前60项的和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．