Question

19．分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：

记图乙中第n行白圈的个数为a_n，则：（Ⅰ）a₄=14；（Ⅱ）a_n=$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的白圈的个数；
（Ⅱ）再根据前五行的白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可归纳第n行的白圈数

解答 解：（Ⅰ）根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，
记某行白圈x个，黑圈y个为（x，y），
则第一行记为（1，0），
第二行记为（2，1），
第三行记为（5，4），
第四行记为（14，13）
故a₄=14
（Ⅱ）各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，
∴第n行的白圈数为$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$，
故答案为：14，$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．