Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2lnx-x，x∈（0，2]\\ f（x-2），x∈（2，+∞）\end{array}$，a=log₃162，b=$\frac{lg10000}{{{{log}_2}3}}$，则以下结论正确的是（　　）

• A． f（a）＜f（b）＜0
• B． f（b）＜f（a）＜0
• C． 0＜f（a）＜f（b）
• D． 0＜f（b）＜f（a）

Answer 1

分析 利用导数法，可分析出当x∈（0，2]，函数为增函数，进而由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2lnx-x，x∈（0，2]\\ f（x-2），x∈（2，+∞）\end{array}$，a=4+log₃2，b=2+log₃$\frac{16}{9}$，可得答案．

解答 解：当x∈（0，2]，f（x）=2lnx-x，故f′（x）=$\frac{2-x}{x}$≥0，
此时函数为增函数，
∵a=log₃162=4+log₃2，
∴f（a）=f（log₃2）
b=$\frac{lg10000}{{{{log}_2}3}}$=4log₃2=log₃16=2+log₃$\frac{16}{9}$，
∴f（b）=f（log₃$\frac{16}{9}$）
又由f（1）=-1，
∴f（log₃$\frac{16}{9}$）＜f（log₃2）＜f（1）＜0，
即f（b）＜f（a）＜0，
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，对数的运算性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．