Question

18．设x∈R，向量$\overrightarrow{a}$=（x，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，则向量 $\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角的所有可能的余弦值之积为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

Answer 1

分析 设向量 $\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角为θ，则cosθ=$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}+1}•\sqrt{5}}$．再根据|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，求得x的值，可得cosθ的值，从而求得向量 $\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角的所有可能的余弦值之积．

解答 解：设向量 $\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}+1}•\sqrt{5}}$．
再根据|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，可得x²+1+5+2$\sqrt{{x}^{2}+1}$•$\sqrt{5}$•cosθ=5，
求得$\sqrt{{x}^{2}+1}$=-2$\sqrt{5}$cosθ，即 $\sqrt{{x}^{2}+1}$=-2$\sqrt{5}$•$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}+1}•\sqrt{5}}$．
化简可得，x²+2x-3=0，求得x=-3或 x=1，
∴cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或cosθ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴向量 $\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角的所有可能的余弦值之积为（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，属于基础题．