Question

6．已知数列{a_n}满足a₁³+a₂³+…+a_n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}}{{2}^{{a}_{1}}-{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{{a}_{2}}-{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{{a}_{3}}-{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}-{a}_{n}}$＜4．

Answer 1

分析 （I）利用递推式即可得出；
（II）利用“放缩法”、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足a₁³+a₂³+…+a_n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$，n∈N^*．
∴当n=1时，${a}_{1}^{3}$=1，解得a₁=1．
当n≥2时，满足a₁³+a₂³+…+${a}_{n-1}^{3}$=$\frac{{n}^{2}（n-1）^{2}}{4}$，n∈N^*．
∴${a}_{n}^{3}$=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}（n-1）^{2}}{4}$=n³，n∈N^*．
解得a_n=n，
当n=1时也满足，
∴a_n=n．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}-{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}-n}$．
∵2ⁿ⁺¹-（n+1）2ⁿ-n+（2ⁿ-1）＞2ⁿ-n≥2-1＞0，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}-{a}_{n}}$＞0．
又$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}-{a}_{n}}$-$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{2n（n-{2}^{n-1}）}{n（{2}^{n}-n）}$≤0．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}-{a}_{n}}$≤$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴$\frac{{a}_{1}}{{2}^{{a}_{1}}-{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{{a}_{2}}-{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{{a}_{3}}-{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}-{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{1-1}}$+$\frac{2}{{2}^{2-1}}+\frac{3}{{2}^{3-1}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
设S=$\frac{1}{{2}^{1-1}}$+$\frac{2}{{2}^{2-1}}+\frac{3}{{2}^{3-1}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}S$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$，
由错位相减法，得$\frac{1}{2}S$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2，
∴S＜4．
∴$\frac{{a}_{1}}{{2}^{{a}_{1}}-{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{{a}_{2}}-{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{{a}_{3}}-{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}-{a}_{n}}$＜4．

点评 题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、递推式的应用、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．