Question

【题目】如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．

（1）求BC的长度；

（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？

Answer 1

【答案】（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值．

【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据得到，解得答案.

（2）设BP＝t，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.

（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，

则，

化简得，解之得，或（舍），

（2）设BP＝t，则，

，

设，，

令f'（t）＝0，因为，得，

当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；

当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，

所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，

因为恒成立，所以f（t）＜0，

所以tan（α+β）＜0，，

因为y＝tanx在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．