Question

12．设函数f（x）=|x+1|+|x-2|
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值时x的取值范围；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+1）的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）采用零点分段法解含绝对值的不等式；（ II）作出f（x）图象，结合图象可得a的取值．

解答 解：（Ⅰ）采用零点分段法求解，
①当x≥2时，f（x）=x+1+x-2=2x-1≥3；
②当-1≤x＜2时，f（x）=x+1-x+2=3；
③当x＜-1时，f（x）=-x-1-x+2=-2x+1≥3；
∴f（x）的最小值是3，此时x∈[-1，2]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）的图象如图示：

令g（x）=a（x+1），显然直线g（x）恒过（-1，0）点，
若不等式f（x）≤a（x+1）的解集为空集，
只需g（x）的图象（红色直线）和f（x）的图象（黑色线）无交点即可，
直线AB的斜率是：1，当x＜-1时，f（x）=-x-1-x+2=-2x+1的斜率是-2，
故-2＜a＜1．

点评 本题考查绝对值不等式的解法及应用，数形结合是解决问题的关键，属中档题．