Question

10．函数f（x）=x²-4x+4的定义域为[t-2，t-1]，求函数f（x）的最小值y=φ（t）的解析式，并求出函数y=φ（t）的最小值．

Answer 1

分析 求出f（x）的对称轴，对t讨论，当t-1≤2即t≤3时，当t-2＜2＜t-1，即为3＜t＜4时，当t-2≥2，即t≥4时，运用单调性，即可得到最小值，进而得到函数y=φ（t）的最小值．

解答 解：函数f（x）=x²-4x+4的对称轴为x=2，
当t-1≤2即t≤3时，区间[t-2，t-1]为减区间，即有最小值为f（t-1）=（t-3）²；
当t-2＜2＜t-1，即为3＜t＜4时，即有最小值为f（2）=0；
当t-2≥2，即t≥4时，区间[t-2，t-1]为增区间，即有最小值为f（t-2）=（t-4）²．
则有y=φ（t）=$\left\{\begin{array}{l}{（t-3）^{2}，t≤3}\\{0，3＜t＜4}\\{（t-4）^{2}，t≥4}\end{array}\right.$；
当t≤3时，y=（t-3）²的最小值为0；
当3＜t＜4时，y=0；
当t≥4时，y=（t-4）²的最小值为0．
综上可得y=φ（t）的最小值为0．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．