Question

19．已知直角三角形的周长为6，则当直角边满足什么条件时，可使其面积最大？

Answer 1

分析 设两直角边为a，b，则斜边为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，可得a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=6，由基本不等式和不等式的解法可得ab的最大值，可得答案．

解答 解：设两直角边为a，b，则斜边为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由题意可得a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=6
∴6=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{ab}$，
变形可得$\sqrt{ab}$≤$\frac{6}{2+\sqrt{2}}$，可得ab≤54-36$\sqrt{2}$，
∴三角形面积S=$\frac{1}{2}$ab≤27-18$\sqrt{2}$
当且仅当a=b=6-3$\sqrt{2}$时取等号．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及三角形的面积公式和不等式的解法，属基础题．