Question

4．若函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）满足f（$\frac{3}{a}$）＞f（$\frac{5}{a}$），则f（1-$\frac{1}{x}$）＞1的解集是（$1，\frac{1}{1-a}$）．

Answer 1

分析 先由条件f（$\frac{3}{a}$）＞f（$\frac{5}{a}$），得到log_a$\frac{3}{a}$＞log_a$\frac{5}{a}$，从而求出a的取值范围，利用对数函数的单调性化简不等式f（1-$\frac{1}{x}$）＞0为分式不等式即可求解．

解答 解：∵满足f（$\frac{3}{a}$）＞f（$\frac{5}{a}$），
∴log_a$\frac{3}{a}$＞log_a$\frac{5}{a}$，则log_a3-1＞log_a5-1，
∴log_a3＞log_a5，则0＜a＜1，
∴f（1-$\frac{1}{x}$）＞1?$lo{g}_{a}（1-\frac{1}{x}）＞lo{g}_{a}a$，
∴0＜1-$\frac{1}{x}$＜a，
解得：1$＜x＜\frac{1}{1-a}$．
∴f（1-$\frac{1}{x}$）＞1的解集是（$1，\frac{1}{1-a}$）．
故答案为：（$1，\frac{1}{1-a}$）．

点评 本题主要考查对数函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．