Question

△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，CB=1，CA=3，

CA

•

CB

=2，则CD=（　　）

• A、

  30

  4

• B、

  6

  2

• C、

  15

  8

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的数量积，求出cos∠ACB，再利用倍角公式，求出cos∠ACE，结合三角形的相关知识，即可求出CD．

解答： 解：延长CB至点F，使CF=CA=3，连接AF，并延长CD交AF于点E，过点E作AB的平行线交CF于H．
∵

CA

•

CB

=2，CB=1，CA=3
∴cos∠ACB=

2

3

∵∠ACE=

1

2

∠ACB
∴cos2∠ACE=

1+cos∠ACB

2

=

5

6

∵∠ACE为锐角
∴cos∠ACE=

30

6

∵CD平分∠ACB，CA=CF=3
∴CE⊥AF，AE=EF
又∵EH∥BD
∴CD=

1

2

CE
∵CE=AC×cos∠ACE=3×

30

6

=

30

2

∴CD=

30

4

故选：A

点评：本题考察了向量的数量积的定义及相关公式，结合倍角公式和三角形的相关知识，有一定的难度，属于难题！