Question

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a，在区间[-2，2]上的最大值为20，则实数a=（　　）

• A、2
• B、-2
• C、3
• D、-3

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：先求出端点的函数值f（-2）与f（2），比较f（2）与f（-2）的大小，然后根据函数f（x）在[-1，2]上单调递增，在[-2，-1]上单调递减，得到f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a．

解答： 解：∵f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
∵f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
∴f（2）＞f（-2）．
因为在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，
因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，
解得a=-2．
故选：B

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．