Question

3．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得$\sum_{i=1}^{10}$x_i=80，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=20，$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=184，$\sum_{i=1}^{10}$x${\;}_{i}^{2}$=720．附：线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值．
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

Answer 1

分析 （1）由题意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，根据$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值$\widehat{b}$，又由$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，得出$\widehat{a}$从而得到回归直线方程；
（2）变量y的值随x的值增加而增加，可知x与y之间是正相关还是负相关．
（3）代入x=7即可预测该家庭的月储蓄．

解答 解：（1）由题意知，n=10，$\sum_{i=1}^{10}$x_i=80，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=20，
∴$\overline{x}$=$\frac{80}{10}=8$，$\overline{y}$=$\frac{20}{10}=2$
那么：n•$\overline{x}$•$\overline{y}$=10×8×2=160，n•$\overline{x}$²=10×64=640．
$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=184，$\sum_{i=1}^{10}$x${\;}_{i}^{2}$=720．
由$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$=$\frac{184-160}{720-640}=0.3$．
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=2-0.3×8=-0.4，
故所求回归方程为y=0.3x-0.4．
（2）由于变量y的值随x的值增加而增加，即$\widehat{b}$=0.3＞0．
故x与y之间是正相关．
（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7（千元）．

点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．