Question

9．在“一带一路”的建设中，中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料下表：

井号 I	1	2	3	4	5	6
坐标（x，y）（km）	（2，30）	（4，40）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
钻探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（1）在散点图中1～6号旧井位置大致分布在一条直线附近，借助前5组数据求得回归线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（2）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的$\hat b，\hat a$的值（$\hat b，\hat a$精确到0.01）相比于（1）中b，a的值之差（即：$\frac{\hat b-b}{b}，\frac{\hat a-a}{a}$）不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x，\sum_{i=1}^4{x_{2i-1}^2}=94，\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}=945}$）
（3）设出油量与钻探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，在原有井号2～6的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归直线方程，
计算x=1时y的值即可；
（2）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，计算$\frac{\hat b-b}{b}，\frac{\hat a-a}{a}$，即可得出结论；
（3）用列举法求基本事件数，计算对应的概率值．

解答 解：（1）因为$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+5+6+8）=5
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（30+40+60+50+70）=50，
回归直线必过样本中心点$（{\overline x，\overline y}）$，
则$a=\overline y-b\overline x=50-6.5×5=17.5$，
故回归直线方程为y=6.5x+17.5，
当x=1时，y=6.5+17.5=24，即y的预报值为24；
（2）因为$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（2+5+8+1）=4
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（30+60+70+25）=46.25
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{2i-1}}^{2}$=94$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1•y_2i-1=945，
所以$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}-4\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_{2i-1}^2-4{{\overline x}^2}}}}=\frac{945-4×4×46.25}{{94-4×{4^2}}}≈6.83$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=46.25-6.83×4=18.93$，
即$\hat b=6.83，\hat a=18.93，b=6.5，a=17.5$，
∴$\frac{\hat b-b}{b}≈5%，\frac{\hat a-a}{a}≈8%$，均不超过10%，
因此可以使用位置最接近的已有旧井6（1，24）；
（3）由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，
由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：
（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），
（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6），共有10种，
其中恰有2口是优质井的有
（2，3，5），（2，3，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（4，5，6），6种，
所以所求恰有2口是优质井的概率是$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是综合题．