Question

14．已知关于x的方程t（2-cosx）=1-sinx在（0，π）上有实根，则实数t的取值范围是[0，1）．

Answer 1

分析 把已知方程变形，可得t=$\frac{sinx-1}{cosx-2}$，再由$\frac{sinx-1}{cosx-2}$的几何意义，即半圆x²+y²=1（-1＜x＜1，y＞0）上的动点与定点P（2，1）连线的斜率求解．

解答 解：由t（2-cosx）=1-sinx，得t=$\frac{1-sinx}{2-cosx}=\frac{sinx-1}{cosx-2}$．
∵x∈（0，π），
∴$\frac{sinx-1}{cosx-2}$的几何意义为半圆x²+y²=1（-1＜x＜1，y＞0）上的动点与定点P（2，1）连线的斜率．
如图：
∵${k}_{PA}=\frac{1-0}{2-1}=1$，k_PB=0．
∴$\frac{sinx-1}{cosx-2}$的取值范围为[0，1）．
∴t的取值范围为[0，1）．
故答案为：[0，1）．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．