Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，2b，c成等差数列，则cosB的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 a，2b，c成等差数列，可得4b=a+c，于是cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{16{b}^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{15{b}^{2}}{2ac}$-1，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a，2b，c成等差数列，∴4b=a+c，
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{16{b}^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{15{b}^{2}}{2ac}$-1≥$\frac{15{b}^{2}}{2×（\frac{a+c}{2}）^{2}}$-1=$\frac{7}{8}$，当且仅当a=c=2b时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．