Question

9．已知a=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，
b=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}-△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，
c=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+2△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，
d=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{2△x}$，
e=$\underset{lim}{x→{x}_{0}}$$\frac{f（x）-f（{x}_{0}）}{x-{x}_{0}}$，
则b，c，d，e中与a相等的是（　　）

• A． c，d
• B． d，e
• C． b，e
• D． c，e

Answer 1

分析 由题意和极限的定义可得a=f′（x₀），由极限的定义分别计算b、c、d、e可得．

解答 解：∵a=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$=f′（x₀），
∴b=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}-△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$=-$\underset{lim}{-△x→0}$$\frac{f[{x}_{0}+（-△x）]-f（{x}_{0}）}{-△x}$=-f′（x₀）=-a，
∴c=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+2△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$=2•$\underset{lim}{2△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+2△x）-f（{x}_{0}）}{2△x}$=2f′（x₀）=2a，
∴d=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{2△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）+f（{x}_{0}）-f（{x}_{0}-△x）}{2△x}$，
=$\frac{1}{2}$$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$-$\frac{1}{2}$$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}-△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$a=a，
∴e=$\underset{lim}{x→{x}_{0}}$$\frac{f（x）-f（{x}_{0}）}{x-{x}_{0}}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$=f′（x₀）=a
故选：B

点评 本题考查极限的运算，涉及导数的定义和整体思想，属基础题．