Question

(本小题满分12分）
已知函數f(x)＝ln＋mx²（m∈R）
(I)求函数f(x)的单调区间；
(II)若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)
在上单调递增,在上单调递减.
(Ⅱ) .

解析试题分析：(Ⅰ)f(x)的定义域为， …………2分

时，>0, 在上单调递增;
时，<0, 在上单调递减.
综上所述：
在上单调递增,在上单调递减.
……………5分
(Ⅱ) 依题意，设，不妨设，
则恒成立，…………6分
,则恒成立，
所以恒成立，
令……………8分
则g(x)在为增函数，
所以，对恒成立，…………10分
所以，对恒成立，
即，对恒成立，
因此.……………12分
考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，二次函数的图象和性质。
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”，本题最终化为二次函数最值问题，体现考题“起点高，落点低”的特点。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。