Question

中心在原点，焦点坐标为（0，±5

2

）的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为

1

2

，则椭圆方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），则a²-b²=50，再设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（x₀，y₀），利用点差法能示出椭圆的方程．

解答： 解：设椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），则a²-b²=50①
又设直线3x-y-2=0与椭圆交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（x₀，y₀）
∵x₀=

1

2

，∴代入直线方程得y₀=

3

2

-2=-

1

2

，
由

x12 b2 + y12 a2 =1 x22 b2 + y22 a2 =1

，得

y12-y22

a2

=-

x12-x22

b2

，
∴AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

a2

b2

•

x1+x2

y1+y2

=-

a2

b2

•

x0

y0

=3
∵

x0

y0

=-1，∴a²=3b²②
联解①②，可得a²=75，b²=25，
∴椭圆的方程为：

x2

25

+

y2

75

=1
故答案为：

x2

25

+

y2

75

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．