Question

已知命题s：方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，命题t：函数f（x）=ln（mx²-2x+1）的定义域为全体实数．若s∨t为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：若命题s为真命题：令f（x）=x²+（m-3）x+m，则

f(0)=m＞0 f(1)＜0 f(2)＜0 f(3)＞0

，解得m的范围．若命题t为真命题：m=0时，不满足题意．m≠0，若使函数f（x）=ln（mx²-2x+1）的定义域为全体实数，则

m＞0 △=4-4m＜0

，解得m的范围．若s∨t为真命题，则s与t至少有一个为真命题，即可得出．

解答： 解：命题s：令f（x）=x²+（m-3）x+m，∵方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，
∴

f(0)=m＞0 f(1)＜0 f(2)＜0 f(3)＞0

，解得0＜m＜

2

3

．
命题t：函数f（x）=ln（mx²-2x+1）的定义域为全体实数．m=0时，不满足题意．
m≠0，若使函数f（x）=ln（mx²-2x+1）的定义域为全体实数，则

m＞0 △=4-4m＜0

，解得m＞1．
若s∨t为真命题，则s与t至少有一个为真命题，∴0＜m＜

2

3

或m＞1．
∴实数m的取值范围是0＜m＜

2

3

或m＞1．

点评：本题考查了函数的零点、对数函数的性质、二次函数的性质、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题．