Question

已知函数f（x）=

3

sin²x+sinxcosx-

3

2

（x∈R）．
（1）求f（

π

4

）的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若x∈（0，

π

2

），求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的表达式，直接代入即可求f（

π

4

）的值；
（2）将三角函数进行化简，利用三角函数的单调性即可求f（x）的单调增区间；
（3）若x∈（0，

π

2

），求f（x）的最大值．

解答： 解：（1）f(

π

4

)=

3

sin2

π

4

+sin

π

4

cos

π

4

-

3

2

=

1

2

．
（2）∵f（x）=

3

sin²x+sinxcosx-

3

2

=

3

×

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x，
∴f(x)=sin(2x-

π

3

)，
∴令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
则kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
∴[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)为f（x）的单调增区间；
（3）f(x)=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)．
∵0＜x＜

π

2

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

．
∴当2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，f（x）的最大值为1．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数f（x）进行化简是解决本题的关键．