Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列命题正确的是（　　）

• A、若数列{a_n}是等比数列，则数列S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等比数列
• B、若数列{a_n}是等差数列，当S_n=m，S_m=n时，S_m+n=m+n
• C、若1，a，b，c，9成等比数列，则b=±3
• D、若数列{a_n}满足a_n•a_n+1=a_n+a_n+1，则数列{a_n+2-a_n}是等差数列

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：分别根据等差数列和等比数列的性质和通项公式分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：A．若等比数列的公比q=-1时，S₂=0，则数列S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等比数列，错误．
B．数列{a_n}成等差数列的弃要条件是S_n=an²+bn（其中a，b为常数）；
故有

Sn=an2+bn Sm=am2+bm

，两式想减得a（m²-n²）+b（m-n）=0，∵m≠n，
∴a（m+n）+b=0，∴S_m+n=a（m+n）²+b（m+n）=（m+n）[a（m+n）+b]=0．即B错误．
C．若1，a，b，c，9成等比数列，则b²=9，∵b＞0，∴b=3，∴C错误．
D．数列{a_n}满足a_n•a_n+1=a_n+a_n+1，则an+1=

an

an-1

，
∴a_n+2-a_n=

an+1

an+1-1

-an=

an an-1

an an-1 -1

-an=an-an=0为常数，∴数列{a_n+2-a_n}是等差数列正确．
故选：D．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的性质的考查，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．