Question

如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），．以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求所在直线的方程及新桥BC的长；

（Ⅱ）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

并求此时圆的方程.

 

 

Answer 1

（1）,;（2）线段米时，圆形保护区最大；方程为

【解析】

试题分析：（1）在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；（2）根据圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程.（3）判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，用几何法；若方程中含参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.

试题解析：（Ⅰ）建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A（0, 60），C（170, 0），

直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=

设点B的坐标为（a,b），则k BC=

k AB=

解得a=80，b=120.所以BC=.

因此直线BC的方程为，即..............6分

新桥BC的长是150 m.

（Ⅱ）设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,（0≤d≤60）.

由知，直线BC的方程为

由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r，

即.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.此时圆的方程为..........................13分

考点：（1）直线方程的应用；（2）直线与圆的方程的综合应用.