Question

设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，

当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(3)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．

 

Answer 1

（1）-1 （2）4

【解析】【解析】
(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，

f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数，

所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．

故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．

又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时，f(x)＝x，则f(x)的图像如图所示．

当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，

则S＝4S△OAB＝4×＝4.