Question

5．焦点为F的抛物线C：y²=8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当$\frac{{|{MA}|}}{{|{MF}|}}$取得最大值时，直线MA的方程为（　　）

• A． y=x+2或y=-x-2
• B． y=x+2
• C． y=2x+2或y=-2x+2
• D． y=-2x+2

Answer 1

分析 由题意可知则当$\frac{{|{MA}|}}{{|{MF}|}}$取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设直线l的方程，代入抛物线方程，由△=0，考虑求得MA的方程．

解答 解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则$\frac{{|{MA}|}}{{|{MF}|}}$=$\frac{丨MA丨}{丨MP丨}$=$\frac{1}{cos∠AMP}$=$\frac{1}{cos∠MAF}$，则当$\frac{{|{MA}|}}{{|{MF}|}}$取得最大值，
则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，
设切线方程为y=k（x+2），则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，ky²-8y+16k=0，
△=64-64k²=0，k²=1，则k±1，
则直线方程y=x+2或y=-x-2，
故选：A．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．