Question

10．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，AB=2$\sqrt{3}$，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是[2π，4π]．

Answer 1

分析 设△BDC的中心为O₁，球O的半径为R，
连接oO₁D，OD，O₁E，OE，可得R²=3+（3-R）²，解得R=2，
过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．

解答 解：如图，设△BDC的中心为O₁，球O的半径为R，
连接oO₁D，OD，O₁E，OE，
则${O}_{1}D=3sin6{0}^{0}×\frac{2}{3}=\sqrt{3}$，AO₁=$\sqrt{A{D}^{2}-D{{O}_{1}}^{2}}=3$，
在Rt△OO₁D中，R²=3+（3-R）²，解得R=2，
∵BD=3BE，∴DE=2
在△DEO₁中，O₁E=$\sqrt{3+4-2×\sqrt{3}×2×cos3{0}^{0}}=1$
∴$OE=\sqrt{{O}_{1}{E}^{2}+O{{O}_{1}}^{2}}=\sqrt{2}$
过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，
此时截面圆的半径为$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$，最小面积为2π．
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．
故答案为[2π，4π]

点评 本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．