Question

4．设f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，又记f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^•，则f₂₀₁₆（x）=（　　）

• A． $\frac{1+x}{1-x}$
• B． $\frac{x-1}{x+1}$
• C． x
• D． -$\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 由已知条件利用递推思想分别求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），从而得到f_n（x）是以4为周期的周期函数，由此能求出f₂₀₁₆（x）．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，又记f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^•，
∴f₁（x）=f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{1+{f}_{1}（x）}{1-{f}_{1}（x）}$=$\frac{1+\frac{1+x}{1-x}}{1-\frac{1+x}{1-x}}$=-$\frac{1}{x}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{1+{f}_{2}（x）}{1-{f}_{2}（x）}$=$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{x-1}{x+1}$，
f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{1+{f}_{3}（x）}{1-{f}_{3}（x）}$=$\frac{1+\frac{x-1}{x+1}}{1-\frac{x-1}{x+1}}$=x，
f₅（x）=f（f₄（x））=$\frac{1+{f}_{4}（x）}{1-{f}_{4}（x）}$=$\frac{1+x}{1-x}$，
∴f_n（x）是以4为周期的周期函数，
∵2016=504×4，
∴f₂₀₁₆（x）=f₄（x）=x．
故选：C．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、递推思想的合理运用．