Question

9．设函数f（x）=e^x-2ax，x∈R．
（1）当a=1时，求证：f（x）＞0；
（2）当a＞$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）在[0，2a]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入求出导数f′（x），求出函数单调区间和最小值，利用a的范围判断最小值大于0；
（2）求出导数f′（x），令f′（x）=0求出极值点x=lna，利用作差法、构造函数法：求导、判断函数的单调性、求出函数的最值，再比较a与lna的大小，再求得f（0），f（a）后作差比较，即可得到最大值、最小值．

解答 证明：（1）当a=1时，f（x）=e^x-2x，则f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，则x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，当x＞ln2时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，ln2）上为减函数，在（ln2，+∞）上为增函数；
当x=ln2时，函数取最小值f（ln2）=2-2ln2，
∵2-2ln2＞0，∴f（x）＞0恒成立；
解：（2）由题意得f′（x）=e^x-2a，
令f′（x）=0且a＞$\frac{1}{2}$，解得x=ln2a＞0，
当a＞$\frac{1}{2}$，令M（a）=2a-ln2a，M′（a）=2-$\frac{2}{2a}$=$\frac{2a-1}{a}$＞0，
∴M（a）在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
又∵M（$\frac{1}{2}$）=1-ln1=1，∴M（a）=2a-ln2a＞0恒成立，
即当a＞$\frac{1}{2}$时，2a＞ln2a，
∴当0≤x＜ln2a时，f′（x）＜0，f（x）递减，
ln2a＜x≤2a时，f′（x）＞0，f（x）递增，
即有x=ln2a处f（x）取得最小值2a（1-ln2a）；
又∵f（0）=e⁰-0=1，f（2a）=e^2a-4a²，
令h（a）=f（2a）-f（0）=e^2a-4a²-1，
 当a＞$\frac{1}{2}$时，h′（a）=2e^2a-8a＞0，
h（$\frac{1}{2}$）=e-1-1=e-2＞0，h（a）=e^2a-4a²-1＞0，
∴当a＞$\frac{1}{2}$时，f（2a）＞f（0），
综上可得，当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在[0，2a]上的最大值e^2a-4a²，最小值是2a（1-ln2a）．

点评 本题考查导数的运用：单调区间、极值和最值，考查作差后构造函数运用导数判断单调性，进而判断大小，考查运算化简能力，属于中档题．