Question

1．已知锐角α，β满足tan（α-β）=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tanβ．

Answer 1

分析 由已知条件推导出$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$，从而得到tanα=$\frac{ta{n}^{3}β+3tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$，由此能够证明tanα+tanβ=2tan2β．

解答 证明：∵α，β为锐角，tan（α-β）=sin2β，
∴$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}=\frac{2sinβcosβ}{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}$=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$，
∴tanα=$\frac{ta{n}^{3}β+3tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$，
∴tanα+tanβ
=tanβ+$\frac{ta{n}^{3}β+3tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=$\frac{tanβ-ta{n}^{3}β+ta{n}^{3}β+3tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=$\frac{4tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=2tan2β，
∴tanα+tanβ=2tan2β．

点评 本题考查三角恒等式的证明，考查倍角公式的应用，关键是化弦为切，是中档题．