Question

8．已知曲线C：y=x²在x=1处的切线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的面积．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义得到直线的斜率，然后由点斜式得到直线方程；
（2）利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算即可．

解答 解：（1）因为y=x²在x=1处的切线为l，
所以直线斜率为2，又切点为（1，1），所以直线方程为：2x-y-1=0；
（2）直线l与曲线C交点为（1，1），它们以及x轴所围成的图形如图
面积为S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}-2x+1）dx$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=（$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+x$）|${\;}_{0}^{1}$$-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{12}$，
所以$S=\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了导数的几何意义以及利用定积分求曲边梯形的面积；关键是利用定积分表示出曲边梯形的面积，然后正确计算．