Question

在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={

a

|

a

=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“?”．定义如下：对于任意两个向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a1

?

a2

当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题：
①若

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），

0

=（0，0），则

e1

?

e2

?

0

；
②若

a1

＞

a2

，

a2

＞

a3

，则

a1

＞

a3

；
③若

a1

＞

a2

，则对于任意

a

∈D，（

a1

+

a

）＞（

a2

+

a

）；
④对于任意向量

a

＞

0

，

0

=（0，0）若

a1

＞

a2

，则

a

•

a1

＞

a

•

a2

．
其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据已知条件中，

a1

?

a2

当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定义的关系“?”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：对于任意两个向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a1

?

a2

当且仅当“x₁＞x₂”
或“x₁=x₂ 且y₁＞y₂”，
对于①，若

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），

0

=（0，0），则

e1

?

e2

，且 

e2

 ?

0

，故①正确．
对于②，设向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a3

=（x₃，y₃），若

a1

?

a2

，

a2

?

a3

，
则有“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，“x₂＞x₃”或“x₂=x₃且y₂＞y₃”．
故有“x₁＞x₃”或“x₁=x₃且y₁＞y₃”．故有

a1

?

a3

．
对于③，若

a1

?

a2

，则对于任意

a

∈D，设

a

=（x，y），

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），
∵“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，∴“x+x₁＞x+x₂”或“x+x₁=x+x₂且y+y₁＞y+y₂”，
∴（

a1

+

a

）?（

a2

+

a

），故③正确．
对于④，设设

a

=（x，y），

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），
由

a

?

0

，得“x＞0”或“x=0且y＞0”；
由

a1

?

a2

，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”；
可得“x=0且y＞0”且“x₁＞x₂且y₁＜y₂”，故有“xx₁=xx₂且yy₁＜yy₂”，
所以

a

•

a1

?

a

•

a2

不成立，所以④不正确，
故答案为：①②③．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“?”，正确理解新定义“?”的实质，是解答的关键，属于中档题．