如图所示,在平面直角坐标系中,设椭圆,其中,过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和,且满足,,其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时,对应的.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求与的值;
(3)当变化时,是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
(1);(2);(3)
解析试题分析:(1)求椭圆的离心率,即寻找关于a,c的等式,而题中已知了,在椭圆中有代入已知等式,可获得关于a,c的等式,从而可求得离心率的值;(2)因为当点恰为椭圆的右顶点时,对应的,此时点C的坐标可表表示为(a,0),再由及可用a将点A的坐标表示出来,因为点在已知椭圆上,将A点坐标代入可得到关于a,b的一个方程,联立可解出a,b的值;(3)注意由(2)结论可得到:椭圆的方程为,应用点差法:设出,由得到①,再由得到②;再将A,B两点的坐标分别代入椭圆方程后相减,可将直线AB的斜率用A,B两点的坐标来表示,同理将C,D两点的坐标分别代入椭圆方程后相减,可将直线CD的斜率用C,D两点的坐标来表示,由平面几何知识可知AB//CD,所以=,再将①②代入即可求出含与的方程,可解得的值,此值若与有关,则不是定值,此值若与无关,则是定值.
试题解析:(1)因为,所以,得,即,
所以离心率. 4分
(2)因为,,所以由,得, 7分
将它代入到椭圆方程中,得,解得,
所以. 10分
(3)法一:设,
由,得, 12分
又椭圆的方程为,所以由,
得 ①, 且 ②,
由②得,,
即,
结合①,得, 14分
同理,有,所以,
从而,即为定值. 16分
法二:设,
由
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的对称中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为和,且||=2,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线与椭圆相交于A,B两点,若的面积为,求直线的方程.
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直线y=kx+b与曲线交于A、B两点,记△AOB的面积为S(O是坐标原点).
(1)求曲线的离心率;
(2)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(3)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
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在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数,).
(1)写出直线的直角坐标方程;
(2)求直线与曲线的交点的直角坐标.
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椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为,右焦点F与点 的距离为2。
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率的直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足,求直线l的方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,的公共点为,其中的离心率为.
(1)求的值;
(2)过点的直线与分别交于(均异于点),若,求直线的方程.
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