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如图所示,在平面直角坐标系中,设椭圆,其中,过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点,且满足,其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时,对应的.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求的值;
(3)当变化时,是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

(1);(2);(3)

解析试题分析:(1)求椭圆的离心率,即寻找关于a,c的等式,而题中已知了,在椭圆中有代入已知等式,可获得关于a,c的等式,从而可求得离心率的值;(2)因为当点恰为椭圆的右顶点时,对应的,此时点C的坐标可表表示为(a,0),再由可用a将点A的坐标表示出来,因为点在已知椭圆上,将A点坐标代入可得到关于a,b的一个方程,联立可解出a,b的值;(3)注意由(2)结论可得到:椭圆的方程为,应用点差法:设出,由得到①,再由得到②;再将A,B两点的坐标分别代入椭圆方程后相减,可将直线AB的斜率用A,B两点的坐标来表示,同理将C,D两点的坐标分别代入椭圆方程后相减,可将直线CD的斜率用C,D两点的坐标来表示,由平面几何知识可知AB//CD,所以=,再将①②代入即可求出含的方程,可解得的值,此值若与有关,则不是定值,此值若与无关,则是定值.
试题解析:(1)因为,所以,得,即
所以离心率.                                                   4分
(2)因为,所以由,得,          7分
将它代入到椭圆方程中,得,解得
所以.                                                     10分
(3)法一:设
,得,                                     12分
又椭圆的方程为,所以由
  ①,  且   ②,
由②得,

结合①,得,                                 14分
同理,有,所以
从而,即为定值.                                   16分
法二:设

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