Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）求数列{b_n}的前n项和T_n．
参考公式：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，利用n=1时，a₁=S₁=3．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n∈N^*），即b_n+1-b_n=2n-1．利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．
（3）数列{b_n}的前n项和T_n=1²+2²+3²+…+n²-2（1+2+…+n），利用已知参考公式及其等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，
∴n=1时，a₁=S₁=3．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n∈N^*），即b_n+1-b_n=2n-1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n-3）+（2n-5）+…+3+1-1
=$\frac{n（2n-3-1）}{2}$=n²-2n．
（3）数列{b_n}的前n项和T_n=1²+2²+3²+…+n²-2（1+2+…+n）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-2×$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（n+1）（2n-5）}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、“累加求和”方法、数列递推关系、已知求和式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．