Question

3．求和：
（1）求数列9，99，999，…的前n项和S_n；
（2）求数列$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…的前n项和；
（3）求sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²89°的值．

Answer 1

分析 （1）由数列9=10-1，99=10²-1，999=10³-1，…，可得a_n=10ⁿ-1．利用等比数列的求和公式即可得出．
（2）由$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…，而1，4，7，10，…，是公差为3的等差数列a_n，可得通项公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．再利用“裂项求和”方法即可得出．
（3）利用三角函数的基本关系式的平方关系即可得出．

解答 解：（1）∵数列9=10-1，99=10²-1，999=10³-1，…，可得a_n=10ⁿ-1．
∴数列的前n项和S_n=（10+10²+…+10ⁿ）-n=$\frac{10（1{0}^{n}-1）}{10-1}$-n=$\frac{10}{9}$（10ⁿ-1）-n．
（2）由$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…，而1，4，7，10，…，是公差为3的等差数列a_n，可得通项公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．
∴数列$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…的第n项为：$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$，可化为：$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴数列$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…的前n项和=$\frac{1}{3}$$[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$
=$\frac{n}{3n+1}$．
（3）∵sin²α+sin²（90^°-α）=sin²α+cos²α=1，
∴sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²89°=（sin²1°+sin²89°）+（sin²2°+sin²89°）+…（sin²44^°+sin²46^°）+sin²45^°=44+$\frac{1}{2}$=$\frac{89}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法、三角函数的基本关系式的平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．