已知抛物线的准线为.焦点为.圆的圆心在轴的正半轴上.且与轴相切.过原点作倾斜角为的直线.交于点.交圆于另一点.且(1)求圆和抛物线C的方程,(2)若为抛物线C上的动点.求的最小值,(3)过上的动点Q向圆作切线.切点为S.T.求证:直线ST恒过一个定点.并求该定点的坐标. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交圆于另一点，且
（1）求圆和抛物线C的方程；
（2）若为抛物线C上的动点，求的最小值；
（3）过上的动点Q向圆作切线，切点为S，T，
求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.

解：（1）易得，，设圆的方程为，
将点代入得，所以圆的方程为
点在准线上，从而，抛物线的方程为
（2）由（1）得,设点，则
得，，
所以
因为，所以,即的最小值为.
（3）设点，过点的切线长为，则以为圆心，切线长为半径的圆的方程为，
即 ①
又圆的方程为，即 ②
由①②两式相减即得直线的方程：
显然上面直线恒过定点

解析

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