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(12分) 如图,为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设=λ,求λ的取值范围.

.解:(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,?∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.
∴曲线C为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆.     ……2分
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲线C的方程为+y2="1.                    "                                                                       ……4分
(2)设直线l的方程为y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2.由图可知

由韦达定理得                   ……6分
将x1=λx2代入得

两式相除            ……8分

                            ①
M在D、N中间,∴λ<1                                                          ②又∵当k不存在时,显然λ= (此时直线l与y轴重合).
所以,所求的取值范围是.                ……12分

解析

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