(12分) 如图,为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设=λ,求λ的取值范围.
.解:(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,?∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.
∴曲线C为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆. ……2分
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲线C的方程为+y2="1. " ……4分
(2)设直线l的方程为y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>.由图可知=λ
由韦达定理得 ……6分
将x1=λx2代入得
两式相除得 ……8分
①
M在D、N中间,∴λ<1 ②又∵当k不存在时,显然λ= (此时直线l与y轴重合).
所以,所求的取值范围是. ……12分
解析
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点,直线,为平面上的动点,过作直线的垂线,垂足为点,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的直线交轨迹于,两点,交直线于点,已知,求的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的准线为,焦点为,圆的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切,过原点作倾斜角为的直线,交于点,交圆于另一点,且
(1)求圆和抛物线C的方程;
(2)若为抛物线C上的动点,求的最小值;
(3)过上的动点Q向圆作切线,切点为S,T,
求证:直线ST恒过一个定点,并求该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,且
椭圆经过圆的圆心C。
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设直线与椭圆交于A、B两点,点且|PA|=|PB|,求直线的方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为,右焦点与点
的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在经过点的直线,使直线与椭圆相交于不同的两点满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:单选题
已知曲线M与曲线N:ρ=5cosθ-5sinθ关于极轴对称,则曲线M的方程为( )
A.ρ=-10cos | B.ρ=10cos |
C.ρ=-10cos | D.ρ=10cos |
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