Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（Ⅰ）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长等于2，求三棱锥C-BED₁的体积；
（Ⅱ）求证：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题意得点B₁到平面CDE的距离等于2，△CDE的面积等于2，由此利用等积法能求出三棱锥C-BED₁的体积．
（Ⅱ）设B₁D的中点为M，连结ME，MC，由已知条件推导出CD⊥CB₁，ME⊥MC，从而得到ME⊥平面B₁CD，由此能证明平面EB₁D⊥平面B₁CD．

解答： （Ⅰ）解：由题意得点B₁到平面CDE的距离等于2，△CDE的面积等于2，
∴三棱锥B₁-CDE的体积等于

4

3

，
∵VC-B1DE=VB1-CDE，
∴VC-B1DE=

4

3

，
∴三棱锥C-BED₁的体积为

4

3

．
（Ⅱ）证明：设B₁D的中点为M，连结ME，MC，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，则ED=

5

a，B1E=

5

a，
∴ED=B₁E，∴ME⊥B₁D，
ME=

DE2- B1D2 4

=

5a2- 12a2 4

=

2

a，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，得CD⊥平面BCC₁B₁，
CB₁?平面BCC₁B₁，∴CD⊥CB₁，
∴MC=

1

2

B1D=

3

a，
∵ME²+MC²=5a²=EC²，∴ME⊥MC，
又∵B₁D?平面B₁CD，MC?平面B₁CD，B₁D∩MC=M，
∴ME⊥平面B₁CD．
∵ME?平面EB₁D，
∴平面EB₁D⊥平面B₁CD．

点评：本题考查棱锥的体积的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．