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已知椭圆的右焦点在圆上,直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若(为坐标原点),求的值;
(3)设点关于轴的对称点为不重合),且直线轴交于点,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

(1)
(2))
(3)的面积存在最大值.

解析
试题分析:解(1)由题设知,圆的圆心坐标是,半径为
故圆轴交与两点. 1分
所以,在椭圆中,又
所以, (舍去,∵), …于是,椭圆的方程为. 4分
(2)设;直线与椭圆方程联立,
化简并整理得.
,

.    6分
,∴,即 
,即为定值.     8分
(3)∵,    
∴直线的方程为
,则
,
解法一:
    13分
当且仅当时等号成立. 故的面积存在最大值.…
(或: ,
,    

当且仅当时等号成立,此时的面积存在最大值.…
考点:直线与椭圆的位置关系
点评:主要是考查了椭圆方程的求解,以及直线与椭圆位置关系的运用,属于中档题。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆与曲线的交点为,求面积的最大值.

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已知椭圆的焦距为4,且过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点轴的垂线,垂足为。取点,连接,过点的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

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在直接坐标系中,直线的方程为,曲线的参数方程为为参数).
(I)已知在极坐标(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,点的极坐标为(4,),判断点与直线的位置关系;
(II)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

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已知椭圆C:的长轴长为,离心率
Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
Ⅱ)若过点B(2,0)的直线(斜率不等于零)与椭圆C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),且OBE与OBF的面积之比为,求直线的方程.

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已知点到两点的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与轨迹交于两点.
(Ⅰ)写出轨迹的方程;
(Ⅱ)求的值.

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已知点,动点满足.
(1)求动点P的轨迹方程; 
(2)设(1)中所求轨迹与直线交于点两点 ,求证(为原点)。

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在极坐标系内,已知曲线的方程为,以极点为原点,极轴方向为正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程;
(2)设点为曲线上的动点,过点作曲线的两条切线,求这两条切线所成角余弦值的取值范围.

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如图,抛物线的焦点为F,准线与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线交于不同的两点M,N.

(I)若点C的纵坐标为2,求
(II)若,求圆C的半径.

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