Question

平行四边形中，，，且，以BD为折线，把△ABD折起，，连接AC.

（1）求证：；
（2）求二面角B-AC-D的大小.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：（1）要证线线垂直，一般先其中一条直线与过另一条直线的某个平面垂直，首先我们在图形中寻找垂直关系，折叠后的图形中，只有一个面面垂直，没有线线的关系，回到原平面图形中，已知条件是，，且，应用余弦定理可求得，因此是等腰直角三角形，，因此，同样，是垂直的两平面的交线，由面面垂直的性质可得平面，证线线垂直所需要的线面垂直出来了，结论得证；（2）求二面角，可以根据二面角的定义作二面角的平面角，首先寻找两个面中其中一个平面的垂线，由题意，取中点，则，从而可证平面，那么只要作，垂足为，则就是所要的平面角，当然本题也可用空间向量法求．
试题解析：（1）在中，,
易得．面面
面
4分

（2）法一：在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系.则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，0，1）.       6分
设平面ABC的法向量为，而，
由得：，
取                             8分
再设平面DAC的法向量为，而，
由得：，取         10分
所以，所以二面角B-AC-D的大小是60°.    12分
法二：取BC的中点E,连DE,过D作DFAC于F,连EF,则是二面角B-AC-D的平面角      8分
,
∴           12分
法三：补成正方体．