【题目】已知数列的前项和为,.
(1)若,求证:,,必可以被分为1组或2组,使得每组所有数的和小于1;
(2)若,求证:, …,,必可以被分为组,使得每组所有数的和小于1.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)先将最大的一个数一组,另两个一组,利用反证法证明这两个较小的数的和小于1;
(2)先将其中介于和1之间的单独分一组,再把小于的数进行拼凑成若干组,保证每组都介于和1之间,最后剩余的分成一组,再分析介于和1之间组数小于等于k即可.
解:(1)不妨设
假设,则
所以
所以与矛盾,因此,
所以必可分成两组、使得每组所有数的和小于1
(2)不妨设,
先将,,…,单独分为一组,再对后面项依次合并分组,使得每组和属于,最后一组和属于,不妨设将,,…,分为,,…,,,共组,且其中组,,…,,,最后一组
首先必小于等于,否则,与,矛盾
当时,则
所以只需将,,…,分为,,…,,,即可满足条件;
当时,可将与合成一组,且,否则,矛盾
此时只需将,,…,分为,,…,,,即可满足条件,
所以,,…,必可以被分为m组(1≤m≤k),使得每组所有数的和小于1.
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【题目】现代研究表明,体脂率(体脂百分数)是衡量人体体重与健康程度的一个标准.为分析体脂率对人体总胆固醇的影响,从女性志愿者中随机抽取12名志愿者测定其体脂率值及总胆固醇指标值(单位:mmol/L),得到的数据如表所示:
(1)利用表中的数据,是否可用线性回归模型拟合与的关系?请用相关系数加以说明.(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)求出与的线性回归方程,并预测总胆固醇指标值为9.5时,对应的体脂率值为多少?(上述数据均要精确到0.1)
(3)医学研究表明,人体总胆固醇指标值服从正态分布,若人体总胆固醇指标值在区间之外,说明人体总胆固醇异常,该志愿者需作进一步医学观察.现用样本的作为的估计值,用样本的标准差作为的估计值,从这12名女志愿者中随机抽4人,记需作进一步医学观察的人数为,求的分布列和数学期望.
附:参考公式:相关系数,,.
参考数据:,,,
,.
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【题目】已知抛物线C:x2=2py经过点(2,1).
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
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【题目】某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件.
(1)求该连锁分店一年的利润(万元)与每件商品的售价的函数关系式;
(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值.
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【题目】给出下列说法:
①“”是“”的充分不必要条件;
②定义在上的偶函数的最大值为30;
③命题“,”的否定形式是“,”.其中正确说法的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)已知射线,若与圆交于点(异于点),与直线交于点,求的最大值.
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