Question

【题目】已知数列的前项和为，.

（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；

（2）若，求证：， …，，必可以被分为组，使得每组所有数的和小于1.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）先将最大的一个数一组，另两个一组，利用反证法证明这两个较小的数的和小于1；

（2）先将其中介于和1之间的单独分一组，再把小于的数进行拼凑成若干组，保证每组都介于和1之间，最后剩余的分成一组，再分析介于和1之间组数小于等于k即可.

解：（1）不妨设

假设，则

所以

所以与矛盾，因此,

所以必可分成两组、使得每组所有数的和小于1

（2）不妨设，

先将，，…，单独分为一组，再对后面项依次合并分组，使得每组和属于，最后一组和属于，不妨设将，，…，分为，，…，，，共组，且其中组，，…，，，最后一组

首先必小于等于，否则，与，矛盾

当时，则

所以只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件；

当时，可将与合成一组，且，否则，矛盾

此时只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件，

所以，，…，必可以被分为m组(1≤m≤k)，使得每组所有数的和小于1．