Question

【题目】已知函数f（x）．

（1）求f（﹣1）+f（3）的值；

（2）求证：f（x+1）为奇函数；

（3）若锐角α满足f（2﹣sinα）+f（cosα）＞0，求α的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

(1)直接求解求和即可.

(2)令证明即可.

(3)根据的奇偶性与单调性化简f（2﹣sinα）+f（cosα）＞0求解即可.

（1）,故f（﹣1）+f（3）＝0；

（2）证明：：令g（x）＝f（x+1）,则,

此时,

∴函数g（x）为奇函数,即f（x+1）为奇函数；

（3）由（2）可得函数,

函数g（x）的定义域为R,任取x1＜x2∈R,

,

∵x1＜x2,

∴,则g（x1）﹣g（x2）＜0,

∴函数g（x）在R上为增函数,

且f（2﹣sinα）＝g（1﹣sinα）,f（cosα）＝g（cosα﹣1）,

∴f（2﹣sinα）+f（cosα）＞0即为g（1﹣sinα）+g（cosα﹣1）＞0,

又∵奇函数g（x）在R上为增函数,

∴,

解得．