Question

已知点A（1，2），F（2，0），点P为椭圆

x2

16

+

y2

12

=1上一点，则|PA|+2|PF|的最小值为：

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：过P作PB⊥l，交l与B，由椭圆的第二定义知|PB|=2|PF|，由两点间线段最短知当A，P，B三点共线时，|PA|+2|PF|的最小值，由此能求出结果．

解答： 解：如图，椭圆

x2

16

+

y2

12

=1中，
∵a=4，b=2

3

，c=2，e=

c

a

=

1

2

，
∴点A（1，2）椭圆内，F（2，0）是椭圆的右焦点，
椭圆的右准l：x=

16

2

=8，
过P作PB⊥l，交l与B，
由椭圆的第二定义知：

|PF|

|PB|

=

1

2

，
∴|PB|=2|PF|，
∴|PA|+2|PF|=|PA|+|PB|，
由两点间线段最短知当A，P，B三点共线时，
|PA|+2|PF|的最小值，其最小值=8-1=7．
故答案为：7．

点评：本题考查与椭圆有关的两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆的定义，注意数形结合思想的合理运用．