Question

已知函数f（x）=（sinx-cosx）cosx，其中x∈R．
（1）求f（x）的单调区间和最大值；
（2）若△ABC中，AB=3，AC=4，f（A）=0，求边BC的长．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）用二倍角的正弦与余弦公式及两角差的正弦公式，可求得f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，从而可求得f（x）的单调区间和最大值；
（2）求出A，再利用余弦定理，可求边BC的长．

解答： 解：∵f（x）=（sinx-cosx）•cosx=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

1

2

（sin2x-cos2x）-

1

2

=

2

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）
=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴由2x-

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，可得函数的单调增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，
2x-

π

4

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，可得函数的单调减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]（k∈Z），
函数的最大值为

2

2

-

1

2

；
（2）f（A）=

2

2

sin（2A-

π

4

）-

1

2

=0，
∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
∴A=

π

4

或A=

π

2

，
∵AB=3，AC=4，
∴BC=

32+42-2•3•4•cos45°

=6

2

-1或5．

点评：本题考查二倍角的正弦与余弦公式及两角差的正弦公式，考查三角函数的性质，考查余弦定理的运用，属于中档题．