Question

（1）计算

∫

6 0

(x2+1)dx
（2）若f（x）是一次函数，且

∫

1 0

 f（x）dx=5，

∫

1 0

 xf（x）dx=

17

6

，求

∫

2 1

 

f(x)

x

dx的值．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据积分公式直接进行计算即可．
（2）利用待定系数法求出f（x）的表达式，然后即可得到函数的积分．

解答： 解：（1）

∫

6 0

(x2+1)dx=(

1

3

x3+x)

|

6 0

=

1

3

×63+6=78．
（2）∵f（x）是一次函数，
∴设f（x）=ax+b，a≠0，
∵且

∫

1 0

 f（x）dx=5，
∴

∫

1 0

 （ax+b）dx=(

1

2

ax2+bx)

|

1 0

=

1

2

a+b=5，①
∵

∫

1 0

 xf（x）dx=

17

6

，
∴

∫

1 0

 xf（x）dx=

∫

1 0

 （ax²+bx）dx=(

1

3

ax3+

1

2

bx2)

|

1 0

=

1

3

a+

1

2

b=

17

6

，②
由①②得a=4，b=3，
即f（x）=4x+3，
∴

∫

2 1

 

f(x)

x

dx=

∫

1 0

 

4x+3

x

dx=

∫

1 0

 （4+

3

x

）dx=（4x+3lnx）|

2 1

=8+3ln2-4-3ln1=4+3ln2．

点评：本题主要考查函数积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式以及利用待定系数法求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键．