Question

11．设函数f（x）=1+a•（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，a∈R．
（Ⅰ）不论a为何值时，f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=1+a+1=0，求出a，再验证，即可得出不论a为何值时，f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，则a≤2015•2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，求最大值，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，利用f（x）有两个不同的零点，可定h（t）=t²+at+1有两个不同的正的零点，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）假设f（x）是奇函数，则f（0）=1+a+1=0，
∴a=-2，
∵f（1）=$\frac{1}{4}$，f（-1）=1，
∴f（-1）≠f（1）
∴不论a为何值时，f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，则a≤2015•2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$．
设g（x）=2015•2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，x∈[0，1]，则函数是增函数，
∴a≤g（0）=2014；
（Ⅲ）令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵f（x）有两个不同的零点，
∴h（t）=t²+at+1有两个不同的正的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=1＞0}\\{-\frac{a}{2}＞0}\\{{a}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，
∴a＜-2．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，考查函数的零点，正确转化是关键．